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史宁中:数学的抽象  

2018-02-02 07:50:51|  分类: 转3—课程建设 |  标签: |举报 |字号 订阅

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史宁中:数学的抽象 - 春和景明 - 潍水河畔好读书
 史宁中,东北师范大学资深教授,博士研究生导师,国内著名数理统计学家和教育家,义务教育数学课程标准修订组组长,普通高中数学课程标准修订组组长,教育部中小学教材审查委员,曾任国务院学位委员会学科评议组成员、教育部科学技术委员会数理学部委员、中国概率统计学会副理事长、东北师范大学校长。


思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象,数学的思维就是推理,数学的语言就是模型。 


——东北师范大学资深教授  史宁中


抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性,得到共同的、本质属性的思维过程,是形成概念的必要手段。最初的抽象是基于直观的,正如康德所说:

 

人类的一切知识都是从直观开始,从那里进到概念,而以理念结束。

 

希尔伯特非常敬佩前辈康德。在出版纪念高斯的文集时,希尔伯特把18981899年给学生授课时的讲稿编写成讲义《几何基础》,把康德的这句话作为卷首题词。

对于数学,抽象主要包括两个方面的内容:数量与数量关系,图形与图形关系。这就意味着,数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象,还要抽象出这些研究对象之间的关系。与研究对象的存在性相比,研究对象之间的关系更为本质。

人们把现实生活中的数量抽象为数,形成自然数,并且用十个符号和数位进行表示,得到了自然数集。在现实生活中,数量关系的核心是多与少,人们又把这种关系抽象到数学内部,这就是数的大与小。后来,人们又把大小关系推演为更一般的序关系。

由大小关系的度量产生了自然数的加法,由加法的逆运算产生了减法,由加法的简便运算产生了乘法,由乘法的逆运算产生了除法。因此,数的运算本质是四则运算,这些运算都是基于加法的。通过运算的实践以及对运算性质的研究,抽象出运算法则。为了保证运算结果的封闭性,就实现了数集的扩张。在本质上,数集的扩张是因为逆运算:为了减法运算的封闭,自然数集扩张为整数集;为了除法运算的封闭,整数集扩张为有理数集。

数学还有第五种运算——极限运算,涉及数以及数的运算的第二次抽象。为了很好地描述极限运算,需要解决实数的运算和连续;为了很好地定义实数,需要解决无理数的定义和运算;为了清晰定义无理数,需要重新认识有理数。于是,小数形式有理数的出现,完全背离了用分数形式表达有理数的初衷。这个初衷就是:有理数是可以用整数表示的数。它表述的现实背景是:部分与整体的关系,或者,线段长度之间的比例关系。

1872年,基于小数形式的有理数,康托用基本序列的方法,通过有理数列的极限定义了实数,解决了实数的运算问题;戴德金用分割的方法,通过对有理数的分割定义了实数,解决了实数的连续性问题。1889年,皮亚诺构建算术公理体系,重新定义了自然数。1908年,策梅洛给出了集合论公理体系。借助这一系列的工作,人们终于合理地解释了数和数的运算,合理地解释了微积分,构建了现代数学中关于数及其运算的理论基础。

由此可见,虽然人们在很早以前就抽象出了数以及四则运算,抽象出了数与数之间的关系,甚至建立了基于极限运算的微积分,但到了20世纪初,人们才合理地解释了什么是数,以及各种关于数的运算及其法则。

图形与图形关系的抽象,也经历了同数量与数量关系相似的抽象过程。现实世界中的图形都是三维的,几何学家研究的对象,诸如点、线、面等都是抽象的产物。欧几里得用揭示内涵的方法给出了点、线、面的定义,比如,点是没有部分的那种东西。但是,凡是具体的陈述就必然会出现悖论:按照这样的定义,应当如何解释两条直线相交必然交于一点呢?两条直线怎么能交到没有部分的那种东西上呢?此外,空气是没有部分的,空气是不是点呢?即便如此,欧几里得几何仍然是数学抽象的典范,支撑了数学两千多年的发展,并且成为近代物理学发展的基础,主要表现在伽利略和牛顿的工作中。

随着数学研究的深入,特别是非欧几何以及实数理论的出现,人们需要更加严格地审视传统的几何学。1898年,希尔伯特在《几何基础》这本书中,重新给出了点、线、面的定义:用大写字母A 表示点,用小写字母a 表示直线,用希腊字母 表示平面,这完全是符号化的定义,没有任何涉及内涵的话语。那么,完全没有内涵的定义也能成为数学的研究对象吗?事实上,希尔伯特更为重要的工作在于他给出的五组公理,这五组公理限定了点、线、面之间的关系,给出了集合研究的出发点,构建了几何公理体系。希尔伯特集合公理体系的建立,完成了几何学的第二次抽象。在形式上,几何学的研究已经脱离了现实。

原文引自史宁中著《数学基本思想18讲》,北京师范大学出版社2016年出版,有删节。

 

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